微分積分例

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{4} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

4

$4$ を

2

$2$ プラス

2

$2$ に書き換える

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec (θ)}^{2 + 2} {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 1.2

{sec (θ)}^{2 + 2}

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ を

{sec}^{2} (θ) {sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ に書き換えます。

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{2} (θ) {sec}^{2} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{2} (θ) {sec}^{2} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$ を

1 + {tan}^{2} (θ)

$1 + \tan^{2} (θ)$ に書き換えます。

\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + {tan}^{2} (θ)) {sec}^{2} (θ) {tan}^{4} (θ) d θ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

ステップ 3

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ とします。次に

d u = {sec}^{2} (θ) d θ

$d u = \sec^{2} (θ) d θ$ すると、

\frac{1}{{sec}^{2} (θ)} d u = d θ

$\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ とします。

\frac{d u}{d θ}

$\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

tan (θ)

$\tan (θ)$ を微分します。

\frac{d}{d θ} [tan (θ)]

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

ステップ 3.1.2

θ

$θ$ に関する

tan (θ)

$\tan (θ)$ の微分係数は

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$ です。

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$

{sec}^{2} (θ)

$\sec^{2} (θ)$

ステップ 3.2

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ の

θ

$θ$ に下限値を代入します。

u_{lower} = tan (0)

$u_{lower} = \tan (0)$

ステップ 3.3

tan (0)

$\tan (0)$ の厳密値は

0

$0$ です。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

u = tan (θ)

$u = \tan (θ)$ の

θ

$θ$ に上限値を代入します。

u_{upper} = tan (\frac{π}{4})

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

ステップ 3.5

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は

1

$1$ です。

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

ステップ 3.6

u_{lower}

$u_{lower}$ と

u_{upper}

$u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 1

$u_{upper} = 1$

ステップ 3.7

u

$u$ 、

d u

$d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

ステップ 4

(1 + u^{2}) u^{4}

$(1 + u^{2}) u^{4}$ を掛けます。

\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

u^{4}

$u^{4}$ に

1

$1$ をかけます。

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

ステップ 5.2

指数を足して

u^{2}

$u^{2}$ に

u^{4}

$u^{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

ステップ 5.2.2

2

$2$ と

4

$4$ をたし算します。

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

ステップ 7

べき乗則では、

u^{4}

$u^{4}$ の

u

$u$ に関する積分は

$\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

ステップ 8

べき乗則では、

$u^{6}$ の

$u$ に関する積分は

$\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

ステップ 9

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ と

$\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ および

$0$ で

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.2

$\frac{1}{5}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.4

$\frac{1}{7}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.5

$\frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.6

$\frac{1}{7}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

$35$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.2.7.1

$\frac{1}{5}$ に

$\frac{7}{7}$ をかけます。

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.7.2

$5$ に

$7$ をかけます。

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.7.3

$\frac{1}{7}$ に

$\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.7.4

$7$ に

$5$ をかけます。

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.9

$7$ と

$5$ をたし算します。

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.10

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.11

$\frac{1}{5}$ に

$0$ をかけます。

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

ステップ 10.2.12

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

ステップ 10.2.13

$\frac{1}{7}$ に

$0$ をかけます。

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

ステップ 10.2.14

$0$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{12}{35} - 0$

ステップ 10.2.15

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$\frac{12}{35} + 0$

ステップ 10.2.16

$\frac{12}{35}$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{12}{35}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{12}{35}$

10進法形式：

$0.3\overline{428571}$

微分積分 例

微分積分例