微分積分例

$f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x^{3}$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $0.5$ をかけます。

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2.5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2.5$ の微分係数は $0$ です。

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

ステップ 1.4.2

$1.5 x^{2} - 2$ と $0$ をたし算します。

$1.5 x^{2} - 2$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $1.5 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [1.5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $1.5 x^{2}$ の微分係数は $1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 1.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 1.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1.5$ をかけます。

$f'' (x) = 3 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 x + 0$

ステップ 2.3.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x^{3}$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $0.5$ をかけます。

$1.5 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1.5 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1.5 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1.5 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2.5]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2.5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2.5$ の微分係数は $0$ です。

$1.5 x^{2} - 2 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$1.5 x^{2} - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 1.5 x^{2} - 2$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1.5 x^{2} - 2$ です。

$1.5 x^{2} - 2$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1.5 x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1.5 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$1.5 x^{2} = 2$

ステップ 5.3

$1.5 x^{2} = 2$ の各項を $1.5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1.5 x^{2} = 2$ の各項を $1.5$ で割ります。

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$1.5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1.5 x^{2}}{1.5} = \frac{2}{1.5}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{2}{1.5}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ を $1.5$ で割ります。

$x^{2} = 1.\overline{3}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1.\overline{3}}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}, - \sqrt{1.\overline{3}}$

ステップ 8

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$3 (\sqrt{1.\overline{3}})$

ステップ 9

$3$ に $\sqrt{1.\overline{3}}$ をかけます。

$3.46410161$

ステップ 10

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \sqrt{1.\overline{3}}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{1.\overline{3}}$ で置換えます。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(\sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ を $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

ステップ 11.2.1.2

$1.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

ステップ 11.2.1.3

$0.5$ に $\sqrt{2.\overline{370}}$ をかけます。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.76980035 - 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

ステップ 11.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$0.76980035$ から $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ を引きます。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = - 1.53960071 + 2.5$

ステップ 11.2.2.2

$- 1.53960071$ と $2.5$ をたし算します。

$f (\sqrt{1.\overline{3}}) = 0.96039928$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0.96039928$ です。

$y = 0.96039928$

ステップ 12

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$

ステップ 13

$3 (- \sqrt{1.\overline{3}})$ を掛けます。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sqrt{1.\overline{3}}$

ステップ 13.2

$- 3$ に $\sqrt{1.\overline{3}}$ をかけます。

$- 3.46410161$

ステップ 14

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \sqrt{1.\overline{3}}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{1.\overline{3}}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 {(- \sqrt{1.\overline{3}})}^{3} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{1.\overline{3}}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- {\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2.1.3

${\sqrt{1.\overline{3}}}^{3}$ を $\sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{{1.\overline{3}}^{3}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2.1.4

$1.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}}) - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2.1.5

$0.5 (- \sqrt{2.\overline{370}})$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1.5.1

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.5 \sqrt{2.\overline{370}} - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2.1.5.2

$- 0.5$ に $\sqrt{2.\overline{370}}$ をかけます。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 - 2 (- \sqrt{1.\overline{3}}) + 2.5$

ステップ 15.2.1.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = - 0.76980035 + 2 \sqrt{1.\overline{3}} + 2.5$

ステップ 15.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 15.2.2.1

$- 0.76980035$ と $2 \sqrt{1.\overline{3}}$ をたし算します。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 1.53960071 + 2.5$

ステップ 15.2.2.2

$1.53960071$ と $2.5$ をたし算します。

$f (- \sqrt{1.\overline{3}}) = 4.03960071$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $4.03960071$ です。

$y = 4.03960071$

ステップ 16

$f (x) = 0.5 x^{3} - 2 x + 2.5$ の極値です。

$(\sqrt{1.\overline{3}}, 0.96039928)$ は極小値です

$(- \sqrt{1.\overline{3}}, 4.03960071)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例