微分積分例

$- x^{3} + 4 y^{2} = 2 y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- x^{3} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{3} + 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- 3 x^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 3 x^{2} + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 3 x^{2} + 4 (2 y y')$

ステップ 2.3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 8 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 y^{2} y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 3 x^{2} + 8 y y' = 6 y^{2} y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $6 y^{2} y'$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 8 y y' - 6 y^{2} y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3 x^{2}$ を足します。

$8 y y' - 6 y^{2} y' = 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$2 y y'$ を $8 y y' - 6 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$2 y y'$ を $8 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' \cdot 4 - 6 y^{2} y' = 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$2 y y'$ を $- 6 y^{2} y'$ で因数分解します。

$2 y y' \cdot 4 + 2 y y' (- 3 y) = 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$2 y y'$ を $2 y y' \cdot 4 + 2 y y' (- 3 y)$ で因数分解します。

$2 y y' (4 - 3 y) = 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$2 y y' (4 - 3 y) = 3 x^{2}$ の各項を $2 y (4 - 3 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 y y' (4 - 3 y) = 3 x^{2}$ の各項を $2 y (4 - 3 y)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (4 - 3 y)}{2 y (4 - 3 y)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y' (4 - 3 y)}{2 y (4 - 3 y)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (4 - 3 y)}{y (4 - 3 y)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 5.4.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (4 - 3 y)}{y (4 - 3 y)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (4 - 3 y)}{4 - 3 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 5.4.2.3

$4 - 3 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (4 - 3 y)}{4 - 3 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (4 - 3 y)}$

微分積分 例

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