微分積分例

$y' = 2 x y$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

ステップ 2.2.2

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

ステップ 2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

ステップ 2.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 2.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 3.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 3.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

ステップ 4.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = x^{2} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x^{2} + C} = | y |$

ステップ 4.3

$y$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $| y | = e^{x^{2} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{x^{2} + C}$

ステップ 4.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{x^{2} + C}$ を $e^{x^{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

ステップ 5.2

$e^{x^{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

ステップ 5.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{x^{2}}$

微分積分 例

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