微分積分例

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 1.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 1) (x + 3)$ です。

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.6

$x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.6.2

$3 x + 5$ を $1$ で割ります。

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (x + 3)$ を $1$ で割ります。

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.7.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.7.4

$x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

ステップ 1.1.7.6

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

ステップ 1.1.7.7

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

ステップ 1.1.8

$3 A$ を移動させます。

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$3 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B = 3$ として書き換えます。

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $3 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$5 = 3 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $3 - B$ で置き換えます。

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$3 (3 - B) - 1 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 3 B$ から $B$ を引きます。

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3

$5 = 9 - 4 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $9 - 4 B = 5$ として書き換えます。

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3.2.2

$5$ から $9$ を引きます。

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3.3

$- 4 B = - 4$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$- 4 B = - 4$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$- 4$ を $- 4$ で割ります。

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = 3 - B$ の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$3 - (1)$ を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A = 3 - 1$

$B = 1$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$3$ から $1$ を引きます。

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 2, B = 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

ステップ 1.5

式から0を削除します。

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 4

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1} = x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 1$

ステップ 4.3

$3$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 2$

ステップ 4.4

$u_{1} = x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 1$

ステップ 4.5

$5$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 4$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

ステップ 4.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 6

$u_{2} = x + 3$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = x + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 6.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{2} = x + 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 + 3$

ステップ 6.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$u_{lower} = 6$

ステップ 6.4

$u_{2} = x + 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 + 3$

ステップ 6.5

$5$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

ステップ 6.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$4$ および $2$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

ステップ 8.2

$8$ および $6$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

ステップ 8.3

不要な括弧を削除します。

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

ステップ 10.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

ステップ 10.3

$4$ を $2$ で割ります。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

ステップ 10.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $8$ の間の距離は $8$ です。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

ステップ 10.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $6$ の間の距離は $6$ です。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

ステップ 10.6

$8$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

ステップ 10.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

ステップ 10.6.2.2

共通因数を約分します。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

ステップ 10.6.2.3

式を書き換えます。

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

10進法形式：

$1.67397643 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例