微分積分例

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

$- 1$

ステップ 1.2

$u = 1 - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 1.3

$1$ から $0$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 3$

ステップ 1.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = - 2$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- 2$ および $1$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

ステップ 6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

ステップ 6.2.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 6.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{1}{2} + 1)$

ステップ 6.2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 6.2.7

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1 + 2}{2}$

ステップ 6.2.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3}{2}$

10進法形式：

$- 1.5$

帯分数形：

$- 1 \frac{1}{2}$

ステップ 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$