微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} - 4 x$ とします。次に $d u = (2 x - 4) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} - 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 x - 4$

ステップ 1.2

$u = x^{2} - 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 1 - 4$

ステップ 1.3.2

$1$ から $4$ を引きます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 1.4

$u = x^{2} - 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

ステップ 1.5.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = 9 - 12$

ステップ 1.5.2

$9$ から $12$ を引きます。

$u_{upper} = - 3$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3$ および $- 3$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\ln (| - 3 |)$ から $\ln (| - 3 |)$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例