微分積分例

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

ステップ 1

$u_{2} = \csc (2 π t)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ すると、 $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \csc (2 π t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\csc (2 π t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

ステップ 1.1.2

$f (t) = \csc (t)$ および $g (t) = 2 π t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 π t$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 π t$ で置き換えます。

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2 π$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 π t$ の微分係数は $2 π \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ の因数を並べ替えます。

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \csc (2 π t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

ステップ 1.3.1.2

$2$ を $12$ で因数分解します。

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

ステップ 1.3.1.3

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

ステップ 1.3.1.4

式を書き換えます。

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

ステップ 1.3.2

$π$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.3

$\csc (\frac{π}{6})$ の厳密値は $2$ です。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u_{2} = \csc (2 π t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

ステップ 1.5.1.3

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.5.1.4

式を書き換えます。

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

ステップ 1.5.2

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5.3

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ および $2$ で $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{2 π}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{π}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.2.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 π$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.5.1

$\frac{1}{π}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

ステップ 4.2.5.2

$π \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

ステップ 4.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

ステップ 4.2.7

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2 π}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2 π}$

10進法形式：

$0.15915494 \dots$

微分積分 例

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