微分積分例

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = 2 \tan (t)$ とします。次に $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $2 \tan (t)$ に当てはめます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.3

$4$ を $4 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.5

項を並べ替えます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ を ${(2 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2

$2 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2 \sec (t)$ を $2 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$- \int \sec (t) d t$

ステップ 6

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

ステップ 8

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 8.1

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{u}{2})$ で置き換えます。

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

ステップ 8.2

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$

微分積分 例

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