微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

ステップ 2

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 2.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 2.2

$u = π x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π \cdot 1$

ステップ 2.3

$π$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = π$

ステップ 2.4

$u = π x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π t$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{π}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 5.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

ステップ 7

$\frac{1}{π}$ と $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

ステップ 8

$π t$ および $π$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

極限を求めます。

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ステップ 9.1.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

ステップ 9.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

ステップ 9.2

関数 ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 9.2.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

ステップ 9.2.2

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{π t}$ に書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

ステップ 9.2.3

$t$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

ステップ 9.3

極限を求めます。

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ステップ 9.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $2 π^{\frac{1}{2}}$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

ステップ 9.3.2

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

ステップ 9.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{π}$

ステップ 9.3.3.2

無限大割る有限または0ではない数は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

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