微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

ステップ 1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

ステップ 1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

ステップ 2

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ の値を求めます。

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 3.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

ステップ 3.2.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

ステップ 3.2.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

ステップ 3.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 3.2.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ は約 $3.7320508$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

ステップ 3.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

ステップ 3.3.3

$2 + \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\ln (2 + \sqrt{3})$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2 + \sqrt{3})$

10進法形式：

$1.31695789 \dots$

微分積分 例

微分積分例