微分積分例

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.2.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x - 36$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 3 x - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 36)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 3 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.2.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 3 x - 36$ です。

$3 x^{2} - 3 x - 36$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 3 x - 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 3 x - 36 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 36 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$3$ を $- 36$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 12) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 12) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - x) + 3 (- 12)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - x - 12) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 4) (x + 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.6

最終解は $3 (x - 4) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 4, - 3$

ステップ 8

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (4) - 3$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$6$ に $4$ をかけます。

$24 - 3$

ステップ 9.2

$24$ から $3$ を引きます。

$21$

ステップ 10

$x = 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 11

$x = 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = {(4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$f (4) = 64 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = 64 - \frac{3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.3.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (4) = 64 + \frac{- 3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.3.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (4) = 64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (8)) - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$f (4) = 64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.3.4

式を書き換えます。

$f (4) = 64 - 3 \cdot 8 - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.4

$- 3$ に $8$ をかけます。

$f (4) = 64 - 24 - 36 \cdot 4$

ステップ 11.2.1.5

$- 36$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 64 - 24 - 144$

ステップ 11.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$64$ から $24$ を引きます。

$f (4) = 40 - 144$

ステップ 11.2.2.2

$40$ から $144$ を引きます。

$f (4) = - 104$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 104$ です。

$y = - 104$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- 3) - 3$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $- 3$ をかけます。

$- 18 - 3$

ステップ 13.2

$- 18$ から $3$ を引きます。

$- 21$

ステップ 14

$x = - 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = - 27 - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.3

$- \frac{3}{2} \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 3) = - 27 - 9 (\frac{3}{2}) - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.3.2

$- 9$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (- 3) = - 27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.3.3

$- 9$ に $3$ をかけます。

$f (- 3) = - 27 + \frac{- 27}{2} - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3) = - 27 - \frac{27}{2} - 36 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.5

$- 36$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 27 - \frac{27}{2} + 108$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 27$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{- 27}{1} - \frac{27}{2} + 108$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{- 27}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{- 27}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

ステップ 15.2.2.4

$108$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1}$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{108}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{108}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$- 27$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 54 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4.2

$108$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 54 - 27 + 216}{2}$

ステップ 15.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 54$ から $27$ を引きます。

$f (- 3) = \frac{- 81 + 216}{2}$

ステップ 15.2.5.2

$- 81$ と $216$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{135}{2}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{135}{2}$ です。

$y = \frac{135}{2}$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ の極値です。

$(4, - 104)$ は極小値です

$(- 3, \frac{135}{2})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例