微分積分例

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.2.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

ステップ 1.1.3.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

ステップ 1.1.3.1.4

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

ステップ 1.1.3.1.5

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{- 3 + 7} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$- 3$ と $7$ をたし算します。

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x + 7} - 2} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

ステップ 1.3.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

ステップ 1.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $\sqrt{x + 7} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.7.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 7$ とします。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 7$ で置き換えます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.3

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.7.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.13

$\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.9

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to - 3} 2 x (2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.5

${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + 7}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 3} 2 x (2 \sqrt{x + 7})$

ステップ 1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} 4 x \sqrt{x + 7}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to - 3} x \sqrt{x + 7}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7}$

ステップ 2.3

根号の下に極限を移動させます。

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

ステップ 2.4

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}$

ステップ 2.5

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

ステップ 3

すべての $x$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \cdot - 3 \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

ステップ 3.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \cdot - 3 \cdot \sqrt{- 3 + 7}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 12 \cdot \sqrt{- 3 + 7}$

ステップ 4.2

$- 3$ と $7$ をたし算します。

$- 12 \cdot \sqrt{4}$

ステップ 4.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 12 \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 12 \cdot 2$

ステップ 4.5

$- 12$ に $2$ をかけます。

$- 24$

微分積分 例

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