微分積分例

$\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

総和則では、 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 13.2

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15

分数をまとめます。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 15.2

$x$ と $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 16

$\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ に $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 17

項を簡約します。

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ステップ 17.1

まとめる。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 17.3

$2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 17.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 17.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 19

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分子を簡約します。

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ステップ 20.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.2

指数を足して ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 20.1.2.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x - 2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{1} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.3

$- 2 {(x + 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{x - 2 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x - 2 (x + 1) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 20.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 1 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 2 x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.6

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.1.7

項を並べ替えます。

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 20.2

項を並べ替えます。

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.4

$- 1$ を $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.5

$- 1$ を $- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.6

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.7

$- 1$ を $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.8

$- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ を $- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例