微分積分例

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ で置き換えます。

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $4 - \frac{x^{2}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ です。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

ステップ 2.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ をたし算します。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

ステップ 2.6

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.7

項を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{3}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7.3

$\frac{- 3}{3}$ と ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7.4

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.4.1

$3$ を $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7.4.2.4

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ を $1$ で割ります。

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

ステップ 2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

ステップ 2.9.2

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$

微分積分 例

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