微分積分例

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} - 3 x + 1$ とします。次に $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} - 3 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} - 3 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 3$

ステップ 1.2

$u = x^{3} - 3 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = x^{3} - 3 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 1.5.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

ステップ 1.5.2

$8$ から $6$ を引きます。

$u_{upper} = 2 + 1$

ステップ 1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ および $1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

ステップ 5.2

簡約します。

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

ステップ 6.2

$\frac{1}{3}$ と $e^{3}$ をまとめます。

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ と $e$ をまとめます。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

10進法形式：

$5.78908503 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

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