微分積分例

$2 - 4 y^{2} + 3 x^{3} = 3 y - 5 y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}) = \frac{d}{d x} (3 y - 5 y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 - 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$0 - 8 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0 - 8 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 8 y y' + 3 (3 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $3$ をかけます。

$0 - 8 y y' + 9 x^{2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$0$ から $8 y y'$ を引きます。

$- 8 y y' + 9 x^{2}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$9 x^{2} - 8 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 y - 5 y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y' + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$3 y' - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 y' - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y' - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 y' - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y' - 5 (3 y^{2} y')$

ステップ 3.3.4

$3$ に $- 5$ をかけます。

$3 y' - 15 y^{2} y'$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$- 15 y^{2} y' + 3 y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$9 x^{2} - 8 y y' = - 15 y^{2} y' + 3 y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 15 y^{2} y' + 3 y' = 9 x^{2} - 8 y y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $8 y y'$ を足します。

$- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ を $- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- 15 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 15 y^{2}) + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $3 y'$ で因数分解します。

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + 8 y y' = 9 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $8 y y'$ で因数分解します。

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + y' (8 y) = 9 x^{2}$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3$ で因数分解します。

$y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y) = 9 x^{2}$

ステップ 5.3.5

$y'$ を $y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y)$ で因数分解します。

$y' (- 15 y^{2} + 3 + 8 y) = 9 x^{2}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$

ステップ 5.5

$y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ の各項を $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ の各項を $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ で割ります。

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- 15 y^{2} + 8 y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$- 1$ を $- 15 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) + 8 y + 3}$

ステップ 5.5.3.2

$- 1$ を $8 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) - (- 8 y) + 3}$

ステップ 5.5.3.3

$- 1$ を $- (15 y^{2}) - (- 8 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) + 3}$

ステップ 5.5.3.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)}$

ステップ 5.5.3.5

$- 1$ を $- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

ステップ 5.5.3.6

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.5.3.6.1

$- (15 y^{2} - 8 y - 3)$ を $- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

ステップ 5.5.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$

微分積分 例

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