微分積分例

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ を $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$3 \cos^{3} (x)$ を $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$\cos^{2} (x)$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

ステップ 1.1.2

$3$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

ステップ 1.1.3

括弧を付けます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 \cos (x)}$ を ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$3$ を $3 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

積の法則を $3 (\cos (x))$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

ステップ 7

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 7.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

ステップ 7.2

式を簡約します。

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ステップ 7.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

ステップ 7.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 7.3

$3^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ です。

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 8

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 8.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 8.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 11

公分母の分子をまとめます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 12

分子を簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 12.2

$3$ から $2$ を引きます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 13

$\frac{3}{2}$ と ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 14

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $3^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 15

指数を足して $3$ に $3^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 15.1

$3^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 15.2

$3^{\frac{1}{2}}$ に $3$ をかけます。

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ステップ 15.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 15.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 15.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 15.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 16

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

ステップ 17

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$

微分積分 例

微分積分例