微分積分例

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{x + 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

項を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$2 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.5

$2$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例