微分積分例

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + x^{4}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{5} x^{5} + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2.4

$\frac{5}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.2.5.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.1.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

総和則では、 $x^{4} + 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $4 x^{3} + 12 x^{2}$ です。

$4 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

ステップ 1.2.2

$4 x^{2}$ を $4 x^{3} + 12 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$4 x^{2}$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.6

最終解は $4 x^{2} (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 12 {(- 6)}^{2}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 12 {(- 6)}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

$4$ に $- 216$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 864 + 12 {(- 6)}^{2}$

ステップ 4.2.1.3

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = - 864 + 12 \cdot 36$

ステップ 4.2.1.4

$12$ に $36$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 864 + 432$

ステップ 4.2.2

$- 864$ と $432$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 432$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 432$ です。

$- 432$

ステップ 4.3

$f'' (- 6)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 3, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 32 + 12 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 32 + 12 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.4

$12$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 32 + 48$

ステップ 5.2.2

$- 32$ と $48$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 16$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$16$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- 3, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 4 {(2)}^{3} + 12 {(2)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = 4 \cdot 8 + 12 {(2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f'' (2) = 32 + 12 {(2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = 32 + 12 \cdot 4$

ステップ 6.2.1.4

$12$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = 32 + 48$

ステップ 6.2.2

$32$ と $48$ をたし算します。

$f'' (2) = 80$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $80$ です。

$80$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例