微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$9$ と $- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $9 \tan (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

ステップ 1.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

ステップ 1.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

ステップ 1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

ステップ 2.1.2.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

ステップ 2.4

$\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

ステップ 3.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \sec^{2} (0)$

ステップ 5.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 3 \cdot 1^{2}$

ステップ 5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 5.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

微分積分 例

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