微分積分例

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.10.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

ステップ 2.1.2.2

${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.6.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.7.2

${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$2$ を ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

ステップ 2.7.4

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

ステップ 2.7.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

ステップ 2.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 2.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + 0)$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

ステップ 2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.6.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 4.1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 4.1.10.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 5.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ を ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 6.3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 6.3.3.1.2.1.2

${(x - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 6.3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.2

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.3.3.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2}{9 {((1) - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 9.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

ステップ 9.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2}{0}$

ステップ 9.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{2}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- \infty, 1)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{1}{3 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (0) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 10.2.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 10.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (0) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

ステップ 10.2.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = \frac{1}{3}$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{1}{3 {((4) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

$4$ から $1$ を引きます。

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2

指数を足して $3$ に $3^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 10.3.2.2.1

$3$ に $3^{\frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (4) = \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2.4

$3$ と $2$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ です。

$\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.4

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例