微分積分例

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 11.2

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 11.3

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 11.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 13

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 13.2

$2$ および $1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 13.3

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$2$ を $3$ 乗します。

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.3

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{8 - 1}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.4

$8$ から $1$ を引きます。

$3 (\frac{7}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.5

$3$ と $\frac{7}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.6

$3$ に $7$ をかけます。

$\frac{21}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.7

$21$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.7.1

$3$ を $21$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.7.2.4

$7$ を $1$ で割ります。

$7 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.8

$2$ を $2$ 乗します。

$7 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.9

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.9.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.9.2.2

共通因数を約分します。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.9.2.3

式を書き換えます。

$7 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.9.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$7 - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.10

1のすべての数の累乗は1です。

$7 - 4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.11

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7 - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.12

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.13

公分母の分子をまとめます。

$7 - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.14.1

$2$ に $2$ をかけます。

$7 - 4 \frac{4 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.14.2

$4$ から $1$ を引きます。

$7 - 4 (\frac{3}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.15

$- 4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$7 + \frac{- 4 \cdot 3}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.16

$- 4$ に $3$ をかけます。

$7 + \frac{- 12}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.17

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.17.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.17.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.17.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.17.2.2

共通因数を約分します。

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.17.2.3

式を書き換えます。

$7 + \frac{- 6}{1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.17.2.4

$- 6$ を $1$ で割ります。

$7 - 6 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.18

$7$ から $6$ を引きます。

$1 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 13.4.20

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 13.4.21

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 13.4.22

公分母の分子をまとめます。

$1 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

ステップ 13.4.23

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$1 - 2 (\frac{1}{2})$

ステップ 13.4.24

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 2}{2}$

ステップ 13.4.25

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.25.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 13.4.25.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.25.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 13.4.25.2.2

共通因数を約分します。

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.4.25.2.3

式を書き換えます。

$1 + \frac{- 1}{1}$

ステップ 13.4.25.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - 1$

ステップ 13.4.26

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例