微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 1.2

項をまとめます。

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ステップ 1.2.1

$5 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 2.2

因数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

ステップ 2.2.4

$\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ に $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

ステップ 3.3

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

ステップ 3.4

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

ステップ 3.4.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

ステップ 3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

ステップ 3.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

ステップ 4

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{4}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$x^{3}$ を $5 x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

ステップ 5.2.2

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ を $5 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 5.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 5.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 5.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{4}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 8.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

ステップ 8.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$5 \cdot 0 + 0$ と $2 + 5 \cdot 0$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.1.2

$2$ を $5 \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.1.3

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.1.4

$2$ を $2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.1.5

共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.1.5.2

$2$ を $0 \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

ステップ 10.1.5.3

$2$ を $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

ステップ 10.1.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

ステップ 10.1.5.5

式を書き換えます。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

ステップ 10.3

分母を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$0$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 0}$

ステップ 10.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1}$

ステップ 10.4

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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