微分積分例

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.2.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 3 x - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$6 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 3 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$6 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 3$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 3$ です。

$6 x - 3$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$6 x = 3$

ステップ 2.3

$6 x = 3$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 x = 3$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (1)}{6}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ を $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.4

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.7

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{4 \cdot 2} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.7.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 36 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.8.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 (- 18) (\frac{1}{2})$

ステップ 3.1.2.1.8.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 \cdot (- 18 (\frac{1}{2}))$

ステップ 3.1.2.1.8.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 18$

ステップ 3.1.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{1 - 3}{8}$

ステップ 3.1.2.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 2}{8}$

ステップ 3.1.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 (- 1)}{8}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.1.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 1}{4}$

ステップ 3.1.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 - \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.2.4

$- 18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{1}{2}) = - 18 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.2.5

$- 18$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4 - 1}{4}$

ステップ 3.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.7.1

$- 18$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 72 - 1}{4}$

ステップ 3.1.2.7.2

$- 72$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 73}{4}$

ステップ 3.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{73}{4}$

ステップ 3.1.2.9

最終的な答えは $- \frac{73}{4}$ です。

$- \frac{73}{4}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ で代入して $\frac{1}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{1}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.4$ で置換えます。

$f'' (0.4) = 6 (0.4) - 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6$ に $0.4$ をかけます。

$f'' (0.4) = 2.4 - 3$

ステップ 5.2.2

$2.4$ から $3$ を引きます。

$f'' (0.4) = - 0.6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 5.3

$0.4$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{1}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.6$ で置換えます。

$f'' (0.6) = 6 (0.6) - 3$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$6$ に $0.6$ をかけます。

$f'' (0.6) = 3.6 - 3$

ステップ 6.2.2

$3.6$ から $3$ を引きます。

$f'' (0.6) = 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 6.3

$0.6$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(\frac{1}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ です。

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例