微分積分例

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

ステップ 3

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3

掛け算します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

ステップ 4.5.2

$1 + x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.3.2

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 5.4

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

ステップ 5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ を展開します。

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ステップ 5.5.1

分配則を当てはめます。

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

ステップ 5.5.2

分配則を当てはめます。

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

ステップ 5.5.3

分配則を当てはめます。

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

$2 x$ に $1$ をかけます。

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.2

$- \frac{2}{x}$ に $1$ をかけます。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.4

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.5.2

共通因数を約分します。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.5.3

式を書き換えます。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

ステップ 5.6.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

ステップ 5.6.1.7

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1.7.1

$\frac{2}{x}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 5.6.1.7.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1.7.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.6.1.7.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

ステップ 5.6.1.7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

ステップ 5.6.1.7.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 5.6.2

$- \frac{2}{x}$ と $\frac{2}{x}$ をたし算します。

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 5.6.3

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$

微分積分 例

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