微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

ステップ 4

$\sec (x)$ の微分係数が $\tan (x) \sec (x)$ なので、 $\tan (x) \sec (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

ステップ 6

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{π}{3}$ および $\frac{π}{4}$ で $\sec (x)$ の値を求めます。

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 7.1.2

$\frac{π}{3}$ および $\frac{π}{4}$ で $\sin (x)$ の値を求めます。

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 7.2.2

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 7.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 7.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分配則を当てはめます。

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.3

$3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ を掛けます。

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ステップ 7.3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.3.2

$- 3$ と $\frac{2}{\sqrt{2}}$ をまとめます。

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.3.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.4

分配則を当てはめます。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.5.1

共通因数を約分します。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.5.2

式を書き換えます。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.6.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.3.6.2

共通因数を約分します。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.3.6.3

式を書き換えます。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$\frac{6}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.4.1.2.1

$\frac{6}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.2.6.5

指数を求めます。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.3.1

$2$ を $6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.3.2.3

式を書き換えます。

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.3.2.4

$3 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2

$- 3 \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

10進法形式：

$2.07519655 \dots$

微分積分 例

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