微分積分例

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

ステップ 1

$2$ を $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$2$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

ステップ 1.2

$2$ を $- 2 e^{- x}$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

ステップ 1.3

$2$ を $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

ステップ 3

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ とします。次に $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$e^{x} + e^{- x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $e^{x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.1.4

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.1.4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.1.4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.1.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.1.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 3.1.4.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 3.1.4.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$e^{x} - e^{- x}$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 4.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ を $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ に書き換えます。

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x} + e^{- x}$ で置き換えます。

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$

微分積分 例

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