微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2}$

ステップ 1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2}$

ステップ 1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{1}$ をまとめます。

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ と $e^{- {u_{1}}^{2}}$ をまとめます。

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- {u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- {u_{1}}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u_{1})$

ステップ 4.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 u_{1}$

ステップ 4.2

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0^{2}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1^{2}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

ステップ 4.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 4.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 5.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 6

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ および $0$ で $e^{u_{2}}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

ステップ 10.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 11.3

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 11.4

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 11.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

ステップ 11.4.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

ステップ 11.5

$4$ を $e$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.15803013 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例