微分積分例

$e^{x} + e^{- x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $e^{x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$e^{x} - e^{- x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

ステップ 2.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

ステップ 2.3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$e^{x} - e^{- x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $e^{x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 4.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $e^{x} - e^{- x}$ です。

$e^{x} - e^{- x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $e^{x} - e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$e^{x} - e^{- x} = 0$

ステップ 5.2

両辺に $- e^{- x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$e^{x} = e^{- x}$

ステップ 5.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = - x$

ステップ 5.4

$x$ について解きます。

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ステップ 5.4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.4.1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x + x = 0$

ステップ 5.4.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x = 0$

ステップ 5.4.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 5.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$e^{0} + e^{- (0)}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 + e^{- (0)}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 + e^{0}$

ステップ 9.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 + 1$

ステップ 9.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 1 + e^{0}$

ステップ 11.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 1 + 1$

ステップ 11.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 2$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$f (x) = e^{x} + e^{- x}$ の極値です。

$(0, 2)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例