微分積分例

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to - 4} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + 1)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $27$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(- 4 + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $27$ をかけます。

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.3.2

$27$ から $27$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 4 + 4}$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.2

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.6.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.2

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.7

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6.8

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.7

$- 27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 27$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.8.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.8.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.8.2.3

$6 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.9

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.11

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + 0}$

ステップ 1.3.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1}$

ステップ 1.4

$6 x + 6$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 4} 6 x + 6$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to - 4} 6 x + lim_{x \to - 4} 6$

ステップ 2.2

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 6$

ステップ 2.3

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$6 lim_{x \to - 4} x + 6$

ステップ 3

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$6 \cdot - 4 + 6$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6$ に $- 4$ をかけます。

$- 24 + 6$

ステップ 4.2

$- 24$ と $6$ をたし算します。

$- 18$

微分積分 例

微分積分例