微分積分例

$x \sqrt{3 - 2 x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 - 2 x}$ を ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 - 2 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 - 2 x$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

総和則では、 $3 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 19

${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 20

${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

指数を足して ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 22.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- x + {(3 - 2 x)}^{1}}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23

${(3 - 2 x)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- x + 3 - 2 x}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x + 3}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 25

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 x + 3}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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