微分積分例

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 1

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 5.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x)$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 9.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 9.3

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 9.4

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 9.4.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

ステップ 9.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ です。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2.3

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

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