微分積分例

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2} - 6 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} - 6 x + 1$ で置き換えます。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.5

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

ステップ 2.9

$6 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$3$ に $2$ をかけます。

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

ステップ 3.2.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

ステップ 3.3

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ の因数を並べ替えます。

$(6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

微分積分 例

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