微分積分例

$- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

ステップ 1

$- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{6} x^{6}$ の微分係数は $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.4

$- 6$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.5

$\frac{- 6}{6}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.6

$- 6$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$6$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.2.6.2.4

$- x^{5}$ を $1$ で割ります。

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{5}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- x^{5} - 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{5} - 2 (5 x^{4})$

ステップ 2.1.3.3

$5$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = - x^{5} - 10 x^{4}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- x^{5} - 10 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

ステップ 2.2.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{4}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{4} - 10 (4 x^{3})$

ステップ 2.2.3.3

$4$ に $- 10$ をかけます。

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 40 x^{3}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ です。

$- 5 x^{4} - 40 x^{3}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$

ステップ 3.2

$- 5 x^{3}$ を $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$- 5 x^{3}$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$- 5 x^{3} x - 40 x^{3} = 0$

ステップ 3.2.2

$- 5 x^{3}$ を $- 40 x^{3}$ で因数分解します。

$- 5 x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 8 = 0$

ステップ 3.2.3

$- 5 x^{3}$ を $- 5 x^{3} (x) - 5 x^{3} (8)$ で因数分解します。

$- 5 x^{3} (x + 8) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 3.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 3.6

最終解は $- 5 x^{3} (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 8$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - 2 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - 2 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- \frac{1}{6} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - 2 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 8$ を $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{6} - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 8$ を $6$ 乗します。

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 8) = \frac{- 1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

$2$ を $262144$ で因数分解します。

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (- 8) = \frac{- 1}{3} \cdot 131072 - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{- 1}{3}$ と $131072$ をまとめます。

$f (- 8) = \frac{- 1 \cdot 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 1$ に $131072$ をかけます。

$f (- 8) = \frac{- 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

ステップ 4.3.2.1.6

$- 8$ を $5$ 乗します。

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 \cdot - 32768$

ステップ 4.3.2.1.7

$- 2$ に $- 32768$ をかけます。

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536$

ステップ 4.3.2.2

$65536$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.3.2.3

$65536$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + \frac{65536 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 65536 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.5.1

$65536$ に $3$ をかけます。

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 196608}{3}$

ステップ 4.3.2.5.2

$- 131072$ と $196608$ をたし算します。

$f (- 8) = \frac{65536}{3}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $\frac{65536}{3}$ です。

$\frac{65536}{3}$

ステップ 4.4

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ で代入して $- 8$ 求めた点は、 $(- 8, \frac{65536}{3})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 8, \frac{65536}{3})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 8, \frac{65536}{3})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 8)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 8.1$ で置換えます。

$f'' (- 8.1) = - 5 {(- 8.1)}^{4} - 40 {(- 8.1)}^{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 8.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 8.1) = - 5 \cdot 4304.6721 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

ステップ 6.2.1.2

$- 5$ に $4304.6721$ をかけます。

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

ステップ 6.2.1.3

$- 8.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 \cdot - 531.441$

ステップ 6.2.1.4

$- 40$ に $- 531.441$ をかけます。

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 + 21257.64$

ステップ 6.2.2

$- 21523.3605$ と $21257.64$ をたし算します。

$f'' (- 8.1) = - 265.7205$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 265.7205$ です。

$- 265.7205$

ステップ 6.3

$- 8.1$ で二次導関数は $- 265.7205$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 8)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 8)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 8, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - 5 {(- 4)}^{4} - 40 {(- 4)}^{3}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 4) = - 5 \cdot 256 - 40 {(- 4)}^{3}$

ステップ 7.2.1.2

$- 5$ に $256$ をかけます。

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 {(- 4)}^{3}$

ステップ 7.2.1.3

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 \cdot - 64$

ステップ 7.2.1.4

$- 40$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (- 4) = - 1280 + 2560$

ステップ 7.2.2

$- 1280$ と $2560$ をたし算します。

$f'' (- 4) = 1280$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1280$ です。

$1280$

ステップ 7.3

$- 4$ で二次導関数は $1280$ です。これは正の値なので、 $(- 8, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 8, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 40 {(0.1)}^{3}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 40 {(0.1)}^{3}$

ステップ 8.2.1.2

$- 5$ に $0.0001$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 {(0.1)}^{3}$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 \cdot 0.001$

ステップ 8.2.1.4

$- 40$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.04$

ステップ 8.2.2

$- 0.0005$ から $0.04$ を引きます。

$f'' (0.1) = - 0.0405$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 0.0405$ です。

$- 0.0405$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $- 0.0405$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$ です。

$(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

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