微分積分例

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

ステップ 1

$\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

ステップ 2

$\cos (m x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\cos (m x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\sin (n x)}$ を $\csc (n x)$ に変換します。

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

ステップ 4

$f (x) = \cos (m x)$ および $g (x) = \csc (n x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 5

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = n x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $n x$ とします。

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 5.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 5.3

$u_{1}$ のすべての発生を $n x$ で置き換えます。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$n$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $n x$ の微分係数は $n \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 6.3

$n$ に $1$ をかけます。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

ステップ 7

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = m x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $m x$ とします。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

ステップ 7.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

ステップ 7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $m x$ で置き換えます。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

$m$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $m x$ の微分係数は $m \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

ステップ 8.3

$m$ に $1$ をかけます。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

項を並べ替えます。

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1

正弦と余弦に関して $\cot (n x)$ を書き換えます。

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.2

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.2.1

$\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ と $n$ をまとめます。

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.2.2

$\cos (m x)$ と $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.3

正弦と余弦に関して $\csc (n x)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.4

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.4.1

$\frac{1}{\sin (n x)}$ に $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ をかけます。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.4.2

$\sin (n x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.4.3

$\sin (n x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

ステップ 9.2.5

正弦と余弦に関して $\csc (n x)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

ステップ 9.2.6

$\frac{1}{\sin (n x)}$ と $m$ をまとめます。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

ステップ 9.2.7

$\sin (m x)$ と $\frac{m}{\sin (n x)}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3

各項を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\sin (n x)$ を $\sin^{2} (n x)$ で因数分解します。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.2

分数を分解します。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.3

$\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.4

$\cos (m x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.5

簡約します。

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ステップ 9.3.5.1

$\cos (m x)$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.5.2

$\frac{1}{\sin (n x)}$ を $\csc (n x)$ に変換します。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.6

分数を分解します。

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.7

$\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ を $\cot (n x)$ に変換します。

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.8

$n$ を $1$ で割ります。

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

ステップ 9.3.9

分数を分解します。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

ステップ 9.3.10

$\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ を積として書き換えます。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

ステップ 9.3.11

$\sin (m x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

ステップ 9.3.12

簡約します。

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ステップ 9.3.12.1

$\sin (m x)$ を $1$ で割ります。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

ステップ 9.3.12.2

$\frac{1}{\sin (n x)}$ を $\csc (n x)$ に変換します。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

ステップ 9.3.13

$m$ を $1$ で割ります。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

ステップ 9.4

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ の因数を並べ替えます。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$

微分積分 例

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