微分積分例

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

ステップ 1.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

ステップ 1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.2

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 6.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7.2

${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3$ を ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7.3.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 7.4

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 7.5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

ステップ 11.2

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例