微分積分例

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

ステップ 4

$u_{2} = \sec (6 x)$ とします。次に $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = \sec (6 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sec (6 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 4.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 4.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 4.1.3

微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

ステップ 4.1.3.3.2

$6$ を $\sec (6 x) \tan (6 x)$ の左に移動させます。

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

ステップ 6

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

ステップ 7

$u_{3} = 2 x^{2}$ とします。次に $d u_{3} = 4 x d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{3} = 2 x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x)$

ステップ 7.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x$

ステップ 7.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{6}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

ステップ 8.2

$\csc^{2} (u_{3})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{4}$ と $- 5$ をまとめます。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 10.2

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 11

$- \cot (u_{3})$ の微分係数が $\csc^{2} (u_{3})$ なので、 $\csc^{2} (u_{3})$ の積分は $- \cot (u_{3})$ です。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

ステップ 12.2.2

$\frac{5}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

ステップ 12.2.3

$\frac{5}{4}$ と $\cot (u_{3})$ をまとめます。

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (6 x)$ で置き換えます。

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

ステップ 13.2

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$

微分積分 例

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