微分積分例

$x^{2} + y^{3} = - 2 + y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2 + y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$3 y^{2} y' + 2 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $- 2 + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + 2 y y'$

ステップ 3.3

$0$ と $2 y y'$ をたし算します。

$2 y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' + 2 x = 2 y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 y y'$ を引きます。

$3 y^{2} y' + 2 x - 2 y y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 2 y y' = - 2 x$

ステップ 5.3

$y y'$ を $3 y^{2} y' - 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y y' (3 y) - 2 y y' = - 2 x$

ステップ 5.3.2

$y y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$y y' (3 y) + y y' \cdot - 2 = - 2 x$

ステップ 5.3.3

$y y'$ を $y y' (3 y) + y y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$y y' (3 y - 2) = - 2 x$

ステップ 5.4

$y y' (3 y - 2) = - 2 x$ の各項を $y (3 y - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y y' (3 y - 2) = - 2 x$ の各項を $y (3 y - 2)$ で割ります。

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{- 2 x}{y (3 y - 2)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (3 y - 2)}{y (3 y - 2)} = \frac{- 2 x}{y (3 y - 2)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 2 x}{y (3 y - 2)}$

ステップ 5.4.2.2

$3 y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 2 x}{y (3 y - 2)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{y (3 y - 2)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x}{y (3 y - 2)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (3 y - 2)}$

微分積分 例

微分積分例