微分積分例

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

ステップ 2

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分数 $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

ステップ 2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

ステップ 2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.2.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

ステップ 2.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

ステップ 2.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

ステップ 2.1.2.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

ステップ 2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

ステップ 2.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

ステップ 2.2

$\frac{y}{2 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

ステップ 2.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

ステップ 2.3

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{x}{2 y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{x}{2 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{x}{y}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 2.3.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

ステップ 3

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

ステップ 4

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 5

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 6

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $V$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

ステップ 7.1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

ステップ 7.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{V}$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

ステップ 7.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

ステップ 7.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.2

$- V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.3.1

$- V$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.1

$V$ を $V - V \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

$V$ を $V^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

$V$ を $- V \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

$V$ を $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.2

$- 1$ を $V$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.4.1

$- \frac{V}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.4.2

$\frac{V}{2}$ に $\frac{V}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.4.4.2

$V \cdot V$ を $V^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.4.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = V$ です。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 7.1.1.3.3.6

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

ステップ 7.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 7.1.3

両辺に $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ を掛けます。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 7.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

ステップ 7.1.4.2

$2 V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.2.1

$2 V$ を $2 V x$ で因数分解します。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

ステップ 7.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

ステップ 7.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

ステップ 7.1.4.3

$(1 + V) (1 - V)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

ステップ 7.1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 7.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ は $V$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.2

$u = (1 + V) (1 - V)$ とします。次に $d u = - 2 V d V$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$u = (1 + V) (1 - V)$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

$(1 + V) (1 - V)$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$f (V) = 1 + V$ および $g (V) = 1 - V$ のとき、 $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ は $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.3.1

総和則では、 $1 - V$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ です。

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.2

$1$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d V} [- V]$ をたし算します。

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.4

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $- V$ の微分係数は $- \frac{d}{d V} [V]$ です。

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.6.2

$- 1$ を $1 + V$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.6.3

$- 1 (1 + V)$ を $- (1 + V)$ に書き換えます。

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.7

総和則では、 $1 + V$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ です。

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

ステップ 7.2.2.2.1.3.8

$1$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

ステップ 7.2.2.2.1.3.9

$0$ と $\frac{d}{d V} [V]$ をたし算します。

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

ステップ 7.2.2.2.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

ステップ 7.2.2.2.1.3.11

$1 - V$ に $1$ をかけます。

$- (1 + V) + 1 - V$

ステップ 7.2.2.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

ステップ 7.2.2.2.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - V + 1 - V$

ステップ 7.2.2.2.1.4.2.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- V + 0 - V$

ステップ 7.2.2.2.1.4.2.3

$- V$ と $0$ をたし算します。

$- V - V$

ステップ 7.2.2.2.1.4.2.4

$- V$ から $V$ を引きます。

$- 2 V$

ステップ 7.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.3.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.9

簡約します。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.2.10

$u$ のすべての発生を $(1 + V) (1 - V)$ で置き換えます。

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 7.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 7.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + | x |) (1 - | x |)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.1.2

$- | x |$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.1.3

$| x |$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.1.5

指数を足して $| x |$ に $| x |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.5.1

$| x |$ を移動させます。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.1.5.2

$| x |$ に $| x |$ をかけます。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.2

$- | x |$ と $| x |$ をたし算します。

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.2.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 7.3.3

方程式の両辺に $\ln (| x |)$ を足します。

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

ステップ 7.3.4

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 7.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 7.3.4.2.2

$\ln (| 1 - V^{2} |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 7.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 7.3.4.3.1.2

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 7.3.4.3.1.3

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

ステップ 7.3.4.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

ステップ 7.3.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

ステップ 7.3.6

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

ステップ 7.3.7

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

ステップ 7.3.8

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

ステップ 7.3.9

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

ステップ 7.3.10

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

ステップ 7.3.11

対数の定義を利用して $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

ステップ 7.3.12

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.1

方程式を $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ として書き換えます。

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

ステップ 7.3.12.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

ステップ 7.3.12.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

ステップ 7.3.12.4

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.4.1

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 7.3.12.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 7.3.12.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 7.3.12.4.2.2.2

$V^{2}$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 7.3.12.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ を簡約します。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

ステップ 7.3.12.4.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 7.3.12.4.3.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.4.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 7.3.12.4.3.1.3.2

式を書き換えます。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

ステップ 7.3.12.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

ステップ 7.3.12.6

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.6.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

ステップ 7.3.12.6.2

公分母の分子をまとめます。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

ステップ 7.3.12.6.3

$\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ を $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 7.3.12.6.4

$\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 7.3.12.6.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.6.5.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 7.3.12.6.5.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 7.3.12.6.5.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 7.3.12.6.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.3.12.6.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 7.3.12.6.5.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.6.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.3.12.6.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.3.12.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.12.6.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.12.6.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.12.6.5.6.4.2

式を書き換えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 7.3.12.6.5.6.5

簡約します。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

ステップ 7.3.12.6.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

ステップ 7.3.12.6.7

$\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

ステップ 7.4

積分定数を簡約します。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

ステップ 8

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

ステップ 9

$y$ について $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

ステップ 9.2.1.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

微分積分 例

微分積分例