微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.6

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$- 1 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.1.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

ステップ 1.3.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

ステップ 1.3.1.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

ステップ 1.3.3.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{\ln (1)}$

ステップ 1.3.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\cos (4 - 2 x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - 2 x$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $4 - 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $4 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.7

$0$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.3.8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.5

$2 \sin (4 - 2 x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

ステップ 3.6

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 2 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 3$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

ステップ 3.6.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

ステップ 3.7

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.10

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.11

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

ステップ 3.12

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

ステップ 3.13

$\frac{1}{2 x - 3}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

ステップ 5

因数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{2 x - 3}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

ステップ 5.2

$\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ と $\sin (4 - 2 x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

ステップ 6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

ステップ 6.2

$(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

ステップ 7

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

ステップ 8

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

ステップ 9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

ステップ 10

$x$ が $2$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

ステップ 11

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

ステップ 12

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

ステップ 13

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

ステップ 14

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

ステップ 15

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 15.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

ステップ 15.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

ステップ 16

答えを簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

ステップ 16.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

ステップ 16.2

$4$ から $3$ を引きます。

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

ステップ 16.3

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ に $1$ をかけます。

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

ステップ 16.4

$- 1 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 16.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

ステップ 16.4.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\sin (4 - 4)$

ステップ 16.5

$4$ から $4$ を引きます。

$\sin (0)$

ステップ 16.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0$

微分積分 例

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