微分積分例

$\int_{0}^{a^{\frac{2}{5}}} x^{4} \sqrt{a^{2} - x^{5}} d x$

ステップ 1

$u = a^{2} - x^{5}$ とします。次に $d u = - 5 x^{4} d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = a^{2} - x^{5}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$a^{2} - x^{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{5}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $a^{2} - x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

ステップ 1.1.2.2

$a^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (5 x^{4})$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 5 x^{4}$

ステップ 1.1.4

$0$ から $5 x^{4}$ を引きます。

$- 5 x^{4}$

ステップ 1.2

$u = a^{2} - x^{5}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = a^{2} - 0^{5}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = a^{2} - 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = a^{2} + 0$

ステップ 1.3.2

$a^{2}$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = a^{2}$

ステップ 1.4

$u = a^{2} - x^{5}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

${(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

ステップ 1.5.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

ステップ 1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

ステップ 1.5.2

$a^{2}$ から $a^{2}$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 5} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{5}) d u$

ステップ 2.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{5} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ および $a^{2}$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{5} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 7.2.6

${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 7.2.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.6.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 7.2.6.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

ステップ 7.2.7

$0$ から $\frac{2}{3} a^{3}$ を引きます。

$- \frac{1}{5} (- \frac{2}{3} a^{3})$

ステップ 7.2.8

$a^{3}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{5} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

ステップ 7.2.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{5}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

ステップ 7.2.10

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

ステップ 7.2.11

$\frac{1}{5}$ に $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ をかけます。

$\frac{a^{3} \cdot 2}{5 \cdot 3}$

ステップ 7.2.12

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{a^{3} \cdot 2}{15}$

ステップ 7.2.13

$2$ を $a^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{2 a^{3}}{15}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{2}{15} a^{3}$

ステップ 9

$\frac{2}{15}$ と $a^{3}$ をまとめます。

$\frac{2 a^{3}}{15}$

微分積分 例

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