微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

ステップ 1.2.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

ステップ 1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

ステップ 1.3.1.2

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

ステップ 1.3.1.3

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

ステップ 1.3.1.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

ステップ 1.3.1.5

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

ステップ 1.3.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{\ln (1)}$

ステップ 1.3.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

ステップ 3.2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

ステップ 3.3

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 2 e^{t} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 e^{t} - 1$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

ステップ 3.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 e^{t} - 1$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

ステップ 3.4

総和則では、 $2 e^{t} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

ステップ 3.5

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 e^{t}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

ステップ 3.6

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

ステップ 3.7

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

ステップ 3.8

$2 e^{t}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

ステップ 3.9

$2$ と $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

ステップ 3.10

$\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

ステップ 5

$\cos (t)$ と $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

ステップ 7

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 8

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 10

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 11

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 12

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 13

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 14

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 15

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 15.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 15.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 15.3

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

ステップ 16

答えを簡約します。

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ステップ 16.1

まとめる。

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

ステップ 16.2

$\cos (0)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

ステップ 16.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.4

分子を簡約します。

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ステップ 16.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.4.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.4.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.4.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

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