微分積分例

$x y' - 2 y = 2$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 2.1.1

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

ステップ 2.1.2

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

ステップ 2.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

ステップ 2.2.2

$2$ を $2 + 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $1 + y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

ステップ 2.3

両辺に $\frac{1}{1 + y}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

ステップ 2.4

$1 + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$1 + y$ を $2 (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

ステップ 2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

ステップ 2.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

$u = 1 + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$u = 1 + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 3.2.1.1.1

$1 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 3.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + y$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 3.3.3

簡約します。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

ステップ 4.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

ステップ 4.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

ステップ 4.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

ステップ 4.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

ステップ 4.5

$y$ について解きます。

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ステップ 4.5.1

方程式を $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

ステップ 4.5.2

両辺に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

ステップ 4.5.3

簡約します。

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ステップ 4.5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.3.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

ステップ 4.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

ステップ 4.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.3.2.1

$e^{C} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

ステップ 4.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.5.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

ステップ 4.5.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm x^{2} C - 1$

ステップ 5.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C x^{2} - 1$

微分積分 例

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