微分積分例

$f (x) = \frac{x^{4} + 2}{x^{2}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{4} + 2}{x^{2}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{4} + 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{4} + 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{4} + 2) x^{- 2} d x$

$\int (x^{4} + 2) x^{- 2} d x$

$\int (x^{4} + 2) x^{- 2} d x$

ステップ 4

$(x^{4} + 2) x^{- 2}$ を掛けます。

$\int x^{4} x^{- 2} + 2 x^{- 2} d x$

ステップ 5

指数を足して $x^{4}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{4 - 2} + 2 x^{- 2} d x$

ステップ 5.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\int x^{2} + 2 x^{- 2} d x$

$\int x^{2} + 2 x^{- 2} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{- 2} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{- 2} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 (- x^{- 1}) + C$

ステップ 10.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{4} + 2}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$