微分積分例

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 \ln (x)$ とします。

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 3 \ln (x)$ で置き換えます。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.2

$e^{- 3 \ln (x)}$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.3

$3$ を $e^{- 3 \ln (x)}$ の左に移動させます。

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.4

$x^{5}$ と $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ をまとめます。

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.5

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$x$ を $x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ で因数分解します。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.5.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.5.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.5.2.5

$x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ を $1$ で割ります。

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 5.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

ステップ 6

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ と $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$e^{- 3 \ln (x)}$ を移動させます。

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

ステップ 6.2

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ と $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ をたし算します。

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

微分積分 例

微分積分例