微分積分例

$2 y^{2} - x y - 5 + x^{3} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x y - 5 + x^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 y^{2} - x y - 5 + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$4 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$4 y y' - (x y' + y) + 0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y y' - (x y' + y) + 0 + 3 x^{2}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$4 y y' - (x y') - y + 0 + 3 x^{2}$

ステップ 2.5.2

$4 y y' - x y' - y$ と $0$ をたし算します。

$4 y y' - x y' - y + 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 4 y y' - x y' - y$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 4 y y' - x y' - y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$4 y y' - x y' - y = - 3 x^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$4 y y' - x y' = - 3 x^{2} + y$

ステップ 5.2

$y'$ を $4 y y' - x y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$y'$ を $4 y y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) - x y' = - 3 x^{2} + y$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- x y'$ で因数分解します。

$y' (4 y) + y' (- x) = - 3 x^{2} + y$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (4 y) + y' (- x)$ で因数分解します。

$y' (4 y - x) = - 3 x^{2} + y$

ステップ 5.3

$y' (4 y - x) = - 3 x^{2} + y$ の各項を $4 y - x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y' (4 y - x) = - 3 x^{2} + y$ の各項を $4 y - x$ で割ります。

$\frac{y' (4 y - x)}{4 y - x} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y - x} + \frac{y}{4 y - x}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4 y - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (4 y - x)}{4 y - x} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y - x} + \frac{y}{4 y - x}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{4 y - x} + \frac{y}{4 y - x}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{4 y - x}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{4 y - x}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{4 y - x}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{4 y - x}$

ステップ 5.3.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$- (3 x^{2} - y)$ を $- 1 (3 x^{2} - y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{4 y - x}$

ステップ 5.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{3 x^{2} - y}{4 y - x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - y}{4 y - x}$

微分積分 例

微分積分例