微分積分例

$\sum_{i = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7$

ステップ 1

総和を分割し、 $i$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{k = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 - \sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{23} i + \sum_{k = 1}^{23} 7$

ステップ 2.2

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2.2.2

値を公式に代入します。

$\frac{23 (23 + 1) (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$23$ と $1$ をたし算します。

$\frac{23 \cdot 24 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

ステップ 2.2.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 2.2.3.1.2.1

$23$ に $24$ をかけます。

$\frac{552 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

ステップ 2.2.3.1.2.2

$2$ に $23$ をかけます。

$\frac{552 (46 + 1)}{6}$

ステップ 2.2.3.1.3

$46$ と $1$ をたし算します。

$\frac{552 \cdot 47}{6}$

ステップ 2.2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$552$ に $47$ をかけます。

$\frac{25944}{6}$

ステップ 2.2.3.2.2

$25944$ を $6$ で割ります。

$4324$

ステップ 2.3

$2 \sum_{k = 1}^{23} i$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 2.3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 2) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$23$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{23 \cdot 24}{2}$

ステップ 2.3.3.1.2

$23$ に $24$ をかけます。

$- 2 (\frac{552}{2})$

ステップ 2.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{552}{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{552}{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 552$

ステップ 2.3.3.3

$- 1$ に $552$ をかけます。

$- 552$

ステップ 2.4

$\sum_{k = 1}^{23} 7$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.4.2

値を公式に代入します。

$(7) (23)$

ステップ 2.4.3

$7$ に $23$ をかけます。

$161$

ステップ 2.5

合計した結果を足します。

$4324 - 552 + 161$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4324$ から $552$ を引きます。

$3772 + 161$

ステップ 2.6.2

$3772$ と $161$ をたし算します。

$3933$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の各値の級数を展開します。

$1^{2} - 2 \cdot 1 + 7 + 2^{2} - 2 \cdot 2 + 7 + 3^{2} - 2 \cdot 3 + 7 + \dots + 5^{2} - 2 \cdot 5 + 7$

ステップ 3.2

展開形を簡約します。

$60$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$3933 - 60$

ステップ 5

$3933$ から $60$ を引きます。

$3873$

微分積分 例

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