微分積分例

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = {(x - 3)}^{3}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x {(x - 3)}^{2}$ を $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1.1

$x {(x - 3)}^{2}$ を $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

ステップ 5.1.1.2

$x {(x - 3)}^{2}$ を $- 2 {(x - 3)}^{3} x$ で因数分解します。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

ステップ 5.1.1.3

$x {(x - 3)}^{2}$ を $x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ で因数分解します。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

ステップ 5.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

ステップ 5.1.4

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

ステップ 5.1.5

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

ステップ 5.2

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ で因数分解します。

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例