微分積分例

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

${(3 i - 2)}^{2}$ を $(3 i - 2) (3 i - 2)$ に書き換えます。

$(3 i - 2) (3 i - 2)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 i - 2) (3 i - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$3 i (3 i - 2) - 2 (3 i - 2)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i - 2)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $i$ に $i$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$i$ を移動させます。

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3.1.2.2

$i$ に $i$ をかけます。

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3.1.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$9 i^{2} - 6 i - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3.1.5

$3$ に $- 2$ をかけます。

$9 i^{2} - 6 i - 6 i - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$9 i^{2} - 6 i - 6 i + 4$

ステップ 1.3.2

$- 6 i$ から $6 i$ を引きます。

$9 i^{2} - 12 i + 4$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4 = 9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} - 12 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 4$

ステップ 3

$9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(9) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$7$ と $1$ をたし算します。

$9 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$7$ に $8$ をかけます。

$9 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$9 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.3

$14$ と $1$ をたし算します。

$9 \frac{56 \cdot 15}{6}$

ステップ 3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$56$ に $15$ をかけます。

$9 (\frac{840}{6})$

ステップ 3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$3 (3) \frac{840}{6}$

ステップ 3.3.2.2.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{840}{2})$

ステップ 3.3.2.3

$3$ と $\frac{840}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 840}{2}$

ステップ 3.3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.1

$3$ に $840$ をかけます。

$\frac{2520}{2}$

ステップ 3.3.2.4.2

$2520$ を $2$ で割ります。

$1260$

ステップ 4

$12 \sum_{i = 1}^{7} i$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 12) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$7$ と $1$ をたし算します。

$- 12 \frac{7 \cdot 8}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$7$ に $8$ をかけます。

$- 12 (\frac{56}{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$2 (- 6) \frac{56}{2}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 6 \frac{56}{2}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- 6 \cdot 56$

ステップ 4.3.3

$- 6$ に $56$ をかけます。

$- 336$

ステップ 5

$\sum_{i = 1}^{7} 4$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(4) (7)$

ステップ 5.3

$4$ に $7$ をかけます。

$28$

ステップ 6

合計した結果を足します。

$1260 - 336 + 28$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$1260$ から $336$ を引きます。

$924 + 28$

ステップ 7.2

$924$ と $28$ をたし算します。

$952$

微分積分 例

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